সত্যক সারণি (Truth Table)

ভূমিকা — একটি সারণিতে সব সম্ভাবনা

ধরো তুমি একটি Logic Circuit ডিজাইন করছো। কিন্তু কীভাবে নিশ্চিত হবে যে সব ক্ষেত্রে সঠিক output আসছে?

Truth Table হলো সেই সরঞ্জাম — একটি মাত্র সারণিতে সব সম্ভাব্য input combination-এর জন্য output দেখা যায়।

মজার তথ্য: Logic Gate-এর স্বতন্ত্র পরিচয়ই হলো তার Truth Table। দুটো Gate-এর Truth Table একই হলে তারা functionally equivalent — যতক্ষণ output একই, ততক্ষণ circuit কীভাবে তৈরি তা গুরুত্বপূর্ণ নয়।

Truth Table কেন দরকার?

Boolean Expression দিয়ে circuit design করা যায়। কিন্তু:

Circuit সঠিক কিনা verify করতে Truth Table লাগে
De Morgan's Theorem প্রমাণ করতে Truth Table ব্যবহার হয়
Truth Table থেকে Boolean Expression (SOP/POS) বের করা যায়
Examiner সব ধাপ দেখতে চান — Truth Table না দিলে marks কাটে

চিত্রের মাধ্যমে বোঝো

2-input Truth Table Structure:

A | B | F
---------
0 | 0 | ?
0 | 1 | ?
1 | 0 | ?
1 | 1 | ?

2 inputs → 2² = 4 rows

Pattern (Binary counting):
Row 1: 00
Row 2: 01
Row 3: 10
Row 4: 11

বাস্তব জীবনের সাথে মিল

উপমা: পরীক্ষার প্রশ্নপত্রের marking scheme-এর মতো। প্রতিটি সম্ভাব্য উত্তর combination-এর জন্য কত নম্বর — এটাই Truth Table। সব possibility listed, কোনোটা বাদ নেই।

Module 1: Truth Table নির্মাণের নিয়ম

মৌলিক নিয়মাবলি

নিয়ম ১: n টি input থাকলে সারির সংখ্যা = 2ⁿ

1 input → 2¹ = 2 rows
2 inputs → 2² = 4 rows
3 inputs → 2³ = 8 rows
4 inputs → 2⁴ = 16 rows

নিয়ম ২: Input column-গুলো Binary counting pattern-এ পূরণ করো (00, 01, 10, 11 বা 000, 001, 010, 011...)

নিয়ম ৩: জটিল Expression-এর জন্য Intermediate column (মধ্যবর্তী ফলাফল) তৈরি করো।

নিয়ম ৪: Intermediate column-এ ধাপে ধাপে হিসাব করো।

Input Pattern তৈরির সহজ পদ্ধতি

3 inputs (A, B, C) এর জন্য:

A: পরিবর্তন হয় প্রতি 4 সারিতে (0,0,0,0,1,1,1,1)
B: পরিবর্তন হয় প্রতি 2 সারিতে (0,0,1,1,0,0,1,1)
C: পরিবর্তন হয় প্রতি 1 সারিতে (0,1,0,1,0,1,0,1)

অর্থাৎ সবচেয়ে বাম column সবচেয়ে ধীরে পরিবর্তন হয়।

Module 2: মৌলিক Gate-এর Truth Table

AND Gate (2-input)

A	B	Y = A·B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

OR Gate (2-input)

A	B	Y = A+B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

NOT Gate (1-input)

A	Y = Ā
0	1
1	0

NAND Gate

A	B	Y = (A·B)̄
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

NOR Gate

A	B	Y = (A+B)̄
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

XOR Gate

A	B	Y = A⊕B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

XNOR Gate

A	B	Y = (A⊕B)̄
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Module 3: Combined Expression-এর Truth Table

উদাহরণ ১: F = AB + C̄

Intermediate columns: AB, C̄, তারপর AB + C̄

A	B	C	AB	C̄	F = AB + C̄
0	0	0	0	1	1
0	0	1	0	0	0
0	1	0	0	1	1
0	1	1	0	0	0
1	0	0	0	1	1
1	0	1	0	0	0
1	1	0	1	1	1
1	1	1	1	0	1

উদাহরণ ২: F = (A⊕B)·C

A	B	C	A⊕B	F = (A⊕B)·C
0	0	0	0	0
0	0	1	0	0
0	1	0	1	0
0	1	1	1	1
1	0	0	1	0
1	0	1	1	1
1	1	0	0	0
1	1	1	0	0

উদাহরণ ৩: F = A̅B + AB̅ (XOR)

A	B	Ā	B̄	ĀB	AB̄	F = ĀB + AB̄
0	0	1	1	0	0	0
0	1	1	0	1	0	1
1	0	0	1	0	1	1
1	1	0	0	0	0	0

XOR-এর Truth Table-এর মতো! ✅

Module 4: Truth Table থেকে SOP Expression

পদ্ধতি:

F = 1 হওয়া সারিগুলো বেছে নাও
প্রতিটি সারিতে: A=1 → A, A=0 → Ā লেখো
সব variable AND করো (Minterm)
সব Minterm OR করো

উদাহরণ: Truth Table থেকে SOP বের করো

A	B	F
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

সারি ২ (A=0, B=1): Ā·B
সারি ৩ (A=1, B=0): A·B̄

SOP: F = ĀB + AB̄

Verify: এটা XOR expression — ✅

Module 5: Truth Table দিয়ে De Morgan প্রমাণ

De Morgan: (A·B)̄ = Ā + B̄

A	B	A·B	(A·B)̄	Ā	B̄	Ā+B̄	সমান?
0	0	0	1	1	1	1	✅
0	1	0	1	1	0	1	✅
1	0	0	1	0	1	1	✅
1	1	1	0	0	0	0	✅

Column (A·B)̄ এবং Column Ā+B̄ সম্পূর্ণ একই → De Morgan's First Theorem প্রমাণিত ✅

Module 6: বাস্তব প্রয়োগ

🔌 Circuit Design: নতুন circuit এর behavior predict করতে
🔍 Verification: Simplified circuit আসলে original-এর মতো কাজ করছে কিনা check করতে
📐 Exam Proof: De Morgan বা অন্য theorem prove করতে
🖥️ Compiler: Programming language-এর logical expression evaluate করতে internal truth table ব্যবহার

🧠 মূল শিক্ষা

মনে রাখো: Truth Table হলো Logic-এর পরিপূর্ণ সত্য — এখানে কোনো সম্ভাবনা বাদ যায় না। n input → 2ⁿ সারি। সর্বদা Input column-গুলো Binary counting pattern-এ পূরণ করো (000...111)। Intermediate column বাদ দিলে mark কাটবে।

🔁 নিজে পরীক্ষা করো

❓ প্রশ্ন ১: 3 input থাকলে Truth Table-এ কত সারি হবে?

✅ উত্তর: 2³ = 8 সারি

❓ প্রশ্ন ২: Truth Table-এ Input column কোন pattern-এ পূরণ করো?

✅ উত্তর: Binary counting pattern (0 থেকে শুরু করে সব combination)

❓ প্রশ্ন ৩: Truth Table থেকে SOP বের করার সময় কোন সারিগুলো দেখো?

✅ উত্তর: F = 1 হওয়া সারিগুলো

❓ প্রশ্ন ৪: F = AB + C̄ expression-এ কতটি intermediate column লাগবে?

✅ উত্তর: 2টি — একটি AB এর জন্য, একটি C̄ এর জন্য

📝 HSC পরীক্ষার প্রস্তুতি

পরীক্ষায় যা আসতে পারে

🎯 "সত্যক সারণি তৈরি করো": প্রদত্ত Boolean Expression-এর Truth Table আঁকো।

🎯 De Morgan প্রমাণ: Truth Table দিয়ে De Morgan verify করো।

🎯 SOP বের করো: Truth Table থেকে Boolean Expression লেখো।

🎯 Gate Truth Table: যেকোনো gate-এর Truth Table মুখে বলতে পারা।

সাধারণ ভুলসমূহ

⚠️ ভুল ১: Intermediate column বাদ দেওয়া — সব step দেখাতে হবে।

⚠️ ভুল ২: 3 input-এ 6 সারি করা — সঠিক: 2³ = 8 সারি।

⚠️ ভুল ৩: Input pattern এলোমেলো করা — Binary order মেনে চলো।

⚠️ ভুল ৪: XOR(1,1) = 1 লেখা — সঠিক: 0।

মনে রাখার কৌশল

💡 "n inputs → 2ⁿ rows, binary counting" — এটা শুরুতেই লিখে নাও।

💡 Intermediate column: Complex expression-এর প্রতিটি sub-expression আলাদা column।

✅ সারাংশ

Truth Table: সব সম্ভাব্য input combination-এ output দেখায়
সারির সংখ্যা: n input → 2ⁿ সারি
Input pattern: Binary counting (000...111)
Intermediate column: Complex expression-এ প্রতিটি sub-part-এর জন্য
SOP বের করা: F=1 সারি → Minterm → OR করো
De Morgan verification: Truth Table দিয়ে উভয় পক্ষ সমান দেখাও

🎯 অনুশীলন প্রশ্ন

Truth Table তৈরি করো:
- F = AB̄ + ĀB
- F = (A+B)·C̄
- F = A XNOR B
De Morgan Verify: Truth Table দিয়ে প্রমাণ করো: (A+B)̄ = Ā·B̄
SOP বের করো: নিচের Truth Table থেকে Boolean Expression:

A B F
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
MCQ: 4 input থাকলে Truth Table-এ কত সারি হবে?
- (a) 4 (b) 8 (c) 16 (d) 32 উত্তর: (c) 16